球面幾何學(xué)（英語：Spherical geometry），簡稱球面幾何，是在二維的球面表面上的幾何學(xué)，也是非歐幾里得幾何的一個例子。它是一種幾何學(xué)，其中的基本元素包括點和大圓，而不是點和直線。在這種幾何學(xué)中，兩點之間最短的距離是通過它們的大圓弧，這種大圓弧在球面幾何中起到了直線的作用。
描述
在平面幾何中，基本的觀念是點和線。在球面上，點的觀念和定義依舊不變，但線不再是“直線”，而是兩點之間最短的距離，稱為測地線。在球面上，最短線是大圓的弧，所以平面幾何中的線在球面幾何中被大圓所取代。同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個大圓之間。結(jié)果是球面三角學(xué)和平常的三角學(xué)有諸多不同之處。例如：球面三角形的內(nèi)角和大于180°。
對比于通過一個點至少有兩條平行線，甚至無窮多條平行線的雙曲面幾何學(xué)，通過特定的點沒有平行線的球面幾何學(xué)是橢圓幾何學(xué)中最簡單的模式。
螞蟻的發(fā)現(xiàn)
設(shè)想有一種生活在二維面上的扁平螞蟻，因為是二維生物，所以沒有第三維感覺。如果螞蟻生活在大平面上，就從實踐中創(chuàng)立歐氏幾何。如果它生活在一個球面上，就會創(chuàng)立一種三角和大于180度，圓周率小于3.14的球面幾何學(xué)。但是，如果螞蟻生活在一個很大的球面上，當(dāng)它的“科學(xué)”還不夠發(fā)達，活動范圍還不夠大，它不足以發(fā)現(xiàn)球面的彎曲，它生活的小塊球面近似于平面，因此它將先創(chuàng)立歐氏幾何學(xué)。當(dāng)它的“科學(xué)技術(shù)”發(fā)展起來時，它會發(fā)現(xiàn)三角和大于180度，圓周率小于3.14等“實驗事實”。如果螞蟻夠聰明，它會得到結(jié)論，它們的宇宙是一個彎曲的二維空間，當(dāng)它把自己的“宇宙“測量遍了時，會得出結(jié)論，它們的宇宙是封閉的(繞一圈還會回到原地)，有限的，而且由于“空間”(曲面)的彎曲程度(曲率)處處相同，它們會將宇宙與自己的宇宙中的圓類比起來，認為宇宙是“圓形的”。由于沒有第三維感覺，所以它無法想象，它們的宇宙是怎樣彎曲成一個球的，更無法想象它們這個“無邊無際”的宇宙是存在于一個三維平直空間中的有限面積的球面。它們很難回答“宇宙外面是什么”這類問題。因為，它們的宇宙是有限無邊的封閉的二維空間，很難形成“外面”這一概念。
對于螞蟻必須借助“發(fā)達的科技”才能發(fā)現(xiàn)的抽象的事實，一只蜜蜂屬卻可以很容易憑直觀形象的描述出來。因為蜜蜂是三維空間的生物，對于嵌在三維空間的二維曲面是“一目了然”的，也很容易形成球面的概念。螞蟻憑借自己的“科學(xué)技術(shù)”得到了同樣的結(jié)論，卻很不形象，是嚴格數(shù)學(xué)化的。
由此可見，并不是只有高維空間的生物才能發(fā)現(xiàn)低維空間的情況，聰明的螞蟻一樣可以發(fā)現(xiàn)球面的彎曲，并最終建立起完善的球面幾何學(xué)，其認識深度并不比蜜蜂差多少。
關(guān)鍵
球面幾何學(xué)的重要關(guān)鍵在塑造真實投影平面，通過辨認在球面上獲得正相反的對跖點(分列在邊的兩側(cè)相對的點。在當(dāng)?shù)兀队捌矫婢哂星蛎鎺缀嗡械奶匦裕胁煌目傮w特性，特別是他是無定向的。
用途
球面幾何學(xué)在航海學(xué)和天文學(xué)都有實際且重要的用途。
拓展
球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要在處理、發(fā)現(xiàn)和解釋多邊形(特別是三角形) 在球面上的角與邊的聯(lián)系和關(guān)聯(lián)。在天文學(xué)上的重要性是用于計算天體軌道和地球表面與太空航行時的天文航海。
參考資料 >