在數(shù)學(xué)里，尤其是在群表示理論里，一個(gè)群表示的特征標(biāo)（character）是指一個(gè)將群的每個(gè)元素連結(jié)至表示空間這個(gè)域內(nèi)的每個(gè)元素之函數(shù)。特征標(biāo)蘊(yùn)藏著群的許多重要性質(zhì)，且因此可以用來做群的研究。特征標(biāo)理論是對有限簡單群分類的一個(gè)有重要的工具。
定義
設(shè)V為一個(gè)域F上的有限維向量空間且設(shè) 為一個(gè)群G于V上的表示。則ρ的特征標(biāo)即為如下給定之函數(shù)：
其中 為矩陣的跡數(shù)。
一個(gè)特征標(biāo)χρ若被稱為是不可約的，即表示ρ是一個(gè)不可約表示。若被稱為是線性的，則表示ρ的維度等于1。χρ的核為集合
其中 是χρ在群 ? 單位元上的值。當(dāng)ρ是G的k維表示且1為G的單位元時(shí)，
和特征標(biāo)群的情況不同，一個(gè)群的特征標(biāo)通常不會自己“形成”一個(gè)群。
拓?fù)淙旱那樾?/h2>
在調(diào)和分析中，通常定義局部緊尼爾斯·阿貝爾拓?fù)淙篏的特征標(biāo)為連續(xù)群同態(tài)；在此，表示單位圓構(gòu)成的群，等價(jià)地說就是。
部分作者將特征標(biāo)的定義放寬為連續(xù)群同態(tài)，而將取值在 則稱作么特征標(biāo)。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特征標(biāo)稱為擬特征標(biāo)。
G 的全體特征標(biāo)構(gòu)成一個(gè)群，群二元運(yùn)算的定義是，稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結(jié)了對偶群的一般性質(zhì)。
性質(zhì)
1、特征標(biāo)是一個(gè)類函數(shù)，即為對一個(gè)共軛類內(nèi)的所有元素來說，χ會是個(gè)常數(shù)。
2、兩個(gè)同構(gòu)的表示會有相同的特征標(biāo)。若系數(shù)域的特征char(F)=0，則兩個(gè)表示為同構(gòu)的，當(dāng)且僅當(dāng)它們有著完全相同的特征標(biāo)。
3、若一個(gè)表示可以是多個(gè)子表示的直和： ，則其相對應(yīng)的特征標(biāo)會是其所有子表示的特征標(biāo)之和：
4、在有限群的情況下，每個(gè)特征標(biāo) 都是n個(gè)m次單位根之和，其中n為表示內(nèi)域的維度，m則是g的階。
5、若F是代數(shù)封閉的且char(F)不可以整除G的階|，則G的不可約特征標(biāo)之?dāng)?shù)量等于G的共軛類數(shù)： 。
算術(shù)性質(zhì)
令 和 為G的兩個(gè)表示，則有下列的等式成立：
其中 為兩者的直和，為兩者的張量積，為 的共軛轉(zhuǎn)置，以及Alt稱為交替積 而Sym則稱為對稱方，其值由下式?jīng)Q定：
特征標(biāo)的誘導(dǎo)與限制
設(shè)G 為有限群，為其子群，而 為 G 的表示，其特征標(biāo)記為。令 為誘導(dǎo)表示 的特征標(biāo)；根據(jù)弗羅貝尼烏斯互反定理，對所有 G 的特征標(biāo)，恒有下述等式
此等式可用來刻劃類函數(shù)。事實(shí)上，若選定陪集分解
還可以明確地寫下 的取值：
特征標(biāo)表
一個(gè)有限群的不可約特征標(biāo)可以形成一個(gè)特征標(biāo)表，其蘊(yùn)含著許多有關(guān)群G在緊致形式時(shí)的有用資訊。每一行標(biāo)記著一個(gè)不可約特征標(biāo)且包含著此一特征標(biāo)在每個(gè)G的共軛類上的值。
下面是有三個(gè)元素之循環(huán)群 的特征標(biāo)表：
其中的u為一個(gè)原三次單位根。特征標(biāo)表總會是正方的，因?yàn)椴豢杉s表示的數(shù)目總會相等于共軛類的數(shù)目。特征標(biāo)表的第一個(gè)行總會是1，其對應(yīng)至群的當(dāng)然表示上。
正交關(guān)系
有關(guān)特征標(biāo)表最重要的性質(zhì)之一為其在行與列上都會有著正交關(guān)系。對特征標(biāo)(即對特征標(biāo)表中的行)的內(nèi)積由下給出：
其中，表示 在g上的值的復(fù)數(shù)共軛。
對于此一內(nèi)積而言，不可約特征標(biāo)兩兩正規(guī)正交：
對表中的列的正交關(guān)系則由下列給出：
對，其和為
其中相加的范圍為所有G的不可約特征標(biāo)，而符號則表示為g的共軛類之大小。
此一正交關(guān)系可以幫助許多的運(yùn)算，如：
??將一個(gè)未知特征標(biāo)分解成不可約特征標(biāo)的線性組合。
??當(dāng)只有一些不可約特征標(biāo)為可知時(shí)，建構(gòu)其完整的特征標(biāo)表。
??求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
??求出群的階。
特征標(biāo)表性質(zhì)
一個(gè)群G的某些性質(zhì)可以由其特征表中推導(dǎo)出來：
1、G的階就是表上所有特征標(biāo)之在1上的取值的平方：(χ(1))2的總和（伯恩賽德公式）。
2、G是可換的當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)在表上的特征標(biāo)，χ(1) = 1。
3、G有一個(gè)非當(dāng)然正規(guī)子群(即G不是一個(gè)簡單群)當(dāng)且僅當(dāng)對于某些表上的非當(dāng)然特征標(biāo)χ和一些于G內(nèi)的非單位元素g，會有χ(1) = χ(g)。
特征標(biāo)表通常不會將群分至同構(gòu)：例如，四元群Q和有8個(gè)元素的二面體群D4會有同樣的特征標(biāo)表。對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。一維表示的特征標(biāo)會形成一個(gè)特征標(biāo)群，其和數(shù)論中有著很重要的關(guān)連。
參考資料 >