合數(shù)是指除了1和其本身外還有其他正因數(shù)的大于1的正整數(shù)。等價(jià)地說，合數(shù)是指除了能被1和其本身整除外，還能被其他正整數(shù)整除。有許多的素性測試可以在不進(jìn)行因數(shù)分解的情形下，判斷一數(shù)字是素?cái)?shù)還是合數(shù)。與之相對的是素?cái)?shù)（也稱質(zhì)數(shù)）的概念，即只有1和其本身兩個(gè)正因數(shù)的大于1的正整數(shù)。依定義，每一個(gè)大于1的整數(shù)不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。而1則被認(rèn)為既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)。4是最小的合數(shù)，9是最小的奇合數(shù)。
性質(zhì)
類型
分類合數(shù)的一種方法為區(qū)分其素因數(shù)分解中素因數(shù)的個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）。可表示為兩個(gè)素?cái)?shù)（允許相同）之積的合數(shù)稱為半素?cái)?shù)，可表示為三個(gè)不同素?cái)?shù)之積的合數(shù)則稱為楔形數(shù)。在一些的應(yīng)用中，亦可以將合數(shù)分為有奇數(shù)的質(zhì)因數(shù)的合數(shù)及有偶數(shù)的質(zhì)因數(shù)的合數(shù)。對于后者，（其中μ為默比烏斯函數(shù)且''x''為質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)的一半），而前者則為
注意，對于質(zhì)數(shù)，此函數(shù)會(huì)傳回 -1，且。而對于有一個(gè)或多個(gè)重復(fù)質(zhì)因數(shù)的數(shù)字''n''，。
另一種分類合數(shù)的方法為計(jì)算其因數(shù)的個(gè)數(shù)。所有的合數(shù)都至少有三個(gè)正因數(shù)。一質(zhì)數(shù)的平方數(shù)，其因數(shù)有。一數(shù)若有著比它小的整數(shù)都還多的因數(shù)，則稱此數(shù)為高合成數(shù)。另外，完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，而其他的合數(shù)則皆為偶數(shù)個(gè)。
合數(shù)可分為奇合數(shù)和偶合數(shù)，也能基本合數(shù)（能被2或3整除的），分陰性合數(shù)（6N-1）和陽性合數(shù)（6N+1），還能分雙因子合數(shù)和多因子合數(shù)。
其他知識點(diǎn)
只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)，叫質(zhì)數(shù)（或稱素?cái)?shù)）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數(shù)只有1和它本身2這兩個(gè)因數(shù)，所以2就是質(zhì)數(shù)。與之相對立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它因數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數(shù)除了1和它本身4這兩個(gè)因數(shù)以外，還有因數(shù)2，所以4是合數(shù)。）
100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25個(gè)。
質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。
因此無論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。
其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。萊昂哈德·歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，Hillel Furstenberg則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。
每一合數(shù)都可以被唯一表示為素?cái)?shù)的乘積。這是算術(shù)基本定理的內(nèi)容。任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，這里P1 這樣的分解稱為N的標(biāo)準(zhǔn)分解式。 算術(shù)基本定理的內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數(shù)分解為素?cái)?shù)乘積的方式是唯一的）。 算術(shù)基本定理是初等數(shù)論中一個(gè)基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。 此定理可推廣至更一般的交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論。gaussian證明復(fù)整數(shù)環(huán)Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導(dǎo)了諸如唯一分解整環(huán)，歐幾里得整環(huán)等等概念，更一般的還有戴德金理想分解定理。 合數(shù)可分成基本合數(shù)（能被2和3 整除的），陰性合數(shù)（加1能被6整除的）和陽性合數(shù)（減1能被6整除的）。 陰性數(shù)在以下式中可以確定是陰性上合數(shù)和陰性下合數(shù)還是陰性素?cái)?shù)。 A陰一上有整數(shù)解， 則 6(3N-W)+1 是小因子數(shù)；6(3N+W)+1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N）^2-N-(B-1)/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6(3N-W)-1 是小因子數(shù)；6(3N+W)-1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 A陰二上 有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性上合數(shù)；并很快找到數(shù)因子， A陰二下 ,有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； N自然數(shù)，b陰性數(shù)（加1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是素?cái)?shù). 36-25形的陰性數(shù)在以下式中可以確定是陰性上合數(shù)和陰性下合數(shù)還是陰性素?cái)?shù)。 A陰三上 有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性上合數(shù)；并很快找到數(shù)因子， A 陰三下 ,有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； N自然數(shù)，b陰性數(shù)（加1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是素?cái)?shù).36-19形的陰性數(shù)在以下式中可以確定是陰性上合數(shù)和陰性下合數(shù)還是陰性素?cái)?shù)。 A陰四上 有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性上合數(shù)；并很快找到數(shù)因子， A陰四下 ,有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； N自然數(shù)，b陰性數(shù)（加1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是素?cái)?shù)。36-13形的陰性數(shù)在以下式中可以確定是陰性上合數(shù)和陰性下合數(shù)還是陰性素?cái)?shù)。 A陰五上 有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性上合數(shù)；并很快找到數(shù)因子; A陰五下 ,有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； N自然數(shù)，b陰性數(shù)（加1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是素?cái)?shù).36-7形的陰性數(shù)在以下式中可以確定是陰性上合數(shù)和陰性下合數(shù)還是陰性素?cái)?shù)。 A陰六上 有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性上合數(shù)；并很找到數(shù)因子， A陰六下 ,有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是陰性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； N自然數(shù)，b陰性數(shù)（加1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陰性數(shù)是素?cái)?shù). 陽性數(shù)可在以下各式中確定是陽性上合數(shù)和陽性下合數(shù)還是陽性素?cái)?shù)。 A陽一上 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性上合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子. A陽一下 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； ， N自然數(shù)，B陽性數(shù)（減1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是質(zhì)數(shù)。 A陽二上 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性上合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； A陽二下 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； ， N自然數(shù)，B陽性數(shù)（減1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是質(zhì)數(shù)。 A陽三上 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性上合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； A陽三下 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； ， N自然數(shù)，B陽性數(shù)（減1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是質(zhì)數(shù)。 A陽四上 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性上合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子; A陽四下 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； ， N自然數(shù)，B陽性數(shù)（減1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是質(zhì)數(shù)。 A陽五上 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性上合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； A陽五下 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； ， N自然數(shù)，B陽性數(shù)（減1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是質(zhì)數(shù). A陽六上 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性上合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； A陽六下 一個(gè)陽性數(shù)代入此式B，有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是陽性下合數(shù)，并能很快找到數(shù)因子； ， N自然數(shù)，B陽性數(shù)（減1能被6整除的），W為另一自然數(shù)。 兩式都沒有整數(shù)解的，這個(gè)陽性數(shù)是質(zhì)數(shù)。 上面有多處筆誤，公式又不能更改，以下為準(zhǔn)。 命題 1 對于B=36N+1 形數(shù)而言。 若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6（3N-W）+1 是小因子數(shù)；6（3N+W）+1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6（3N-W）-1 是小因子數(shù)；6（3N+W）-1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 2對于B=36N+7 形數(shù)而言。 若不定方（3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數(shù)解， 則 6（3N-W）+1 是小因子數(shù)，6（3N+W+1）+1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數(shù)解， 則 6（3N+2-W）-1 是小因子數(shù)，6（3N+W+3）-1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 3對于B=36N+13 形數(shù)而言。 若不定方程（3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6（3N+1-W）+1 是小因子數(shù)，6（3N+1+W）+1是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數(shù)解， 則 6（3N+2-W）-1 是小因子數(shù)，6（3N+2+W）-1是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 4 對于B=36N+19 形數(shù)而言。 若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數(shù)解， 則 6（3N+1-W）+1 是小因子數(shù)；6（3N+2+W）+1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數(shù)解， 則 6（3N+1-W）-1 是小因子數(shù)；6（3N+2+W）-1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 5 對于B=36N+25 形數(shù)而言。 若不定方（3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數(shù)解， 則 6（3N+2-W）+1 是小因子數(shù)，6（3N+2+W）+1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數(shù)解， 則 6（3N+1-W）-1 是小因子數(shù)，6（3N+1+W）-1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 6 對于B=36N+31 形數(shù)而言。 若不定方程（3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數(shù)解， 則 6（3N+2-W）+1 是小因子數(shù)，6（3N+3+W）+1是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數(shù)解， 則 6（3N-W）-1 是小因子數(shù)，6（3N+1+W）-1是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 7對于B=36N-1 形數(shù)而言。 若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6（3N-W）+1 是小因子數(shù)；6（3N+W）-1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N）^2+N+（B+1）/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6（W-3N）-1 是小因子數(shù)；6（W+3N）+1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 8對于B=36N+5 形數(shù)而言。 若不定方（3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數(shù)解， 則 6（W-3N）+1 是小因子數(shù)，6（W+3N+1）-1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數(shù)解， 則 6（W-3N-2）-1 是小因子數(shù)，6（W+3N+3）+1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 9對于B=36N+11 形數(shù)而言。 若不定方程（3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數(shù)解， 則 6（W-3N-1）+1 是小因子數(shù)，6（W+3N+1）-1是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數(shù)解， 則 6(W-3N-2）-1 是小因子數(shù)，6（W+3N+2）+1是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 10 對于B=36N+17 形數(shù)而言。 若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數(shù)解， 則 6（W-3N-1）+1 是小因子數(shù)；6（W+3N+2）-1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數(shù)解， 則 6（W-3N-1）-1 是小因子數(shù)；6（W+3N+2）+1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 11 對于B=36N+23 形數(shù)而言。 若不定方（3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數(shù)解， 則 6（W-3N-2）+1 是小因子數(shù)，6（W+3N+2）+1 是大因子數(shù)。 若不定方程（3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數(shù)解， 則 6（W-3N-1）-1 是小因子數(shù)，6（W+3N+1）+1 是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 命題 12 對于B=36N+29 形數(shù)而言。 若不定方程（3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數(shù)解， 則 6（W-3N-2）+1 是小因子數(shù)，6（W+3N+3）-1是大因子數(shù)。 若不定方程（3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數(shù)解， 則 6（W-3N）-1 是小因子數(shù)，6（W+3N+1）+1是大因子數(shù)。 兩式都無解，是素?cái)?shù)。 關(guān)于哥德巴赫猜想(Su Bin):設(shè)（2+Na）*(2+Nb)=x經(jīng)過推導(dǎo)得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1) 所以x≥4,且x≠5.所以x≥6. 左邊為合數(shù)，右邊是兩個(gè)數(shù)的和。 參考資料 > [科普中國]-合數(shù).科普中國網(wǎng).2025-08-12判定