棱錐是由一個(gè)底面和若干個(gè)三角形側(cè)面圍成的平面立體。棱錐的所有棱面相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為錐頂，相鄰兩棱面的交線稱為棱線，所有的棱線都交于錐頂。棱錐底面的形狀決定了棱線的數(shù)目，例如，底面為三角形，則有三條棱線，即為三棱錐；底面為五邊形則有五條棱線，即為五棱錐。若棱錐的底面為正多邊形，且棱錐頂點(diǎn)在底面上的投影與底面多邊形的形心重合，則稱為正棱錐。
歷史
在公元前1650年左右的萊因德數(shù)學(xué)紙草書(shū)中，棱錐已經(jīng)作為數(shù)學(xué)對(duì)象被幾何學(xué)家研究。紙草書(shū)的56至59題是有關(guān)正方錐的底邊、高以及底面和側(cè)面形成的二面角之間關(guān)系的計(jì)算，如已知高和底邊長(zhǎng)度，求二面角等。傳說(shuō)由歐幾里得在公元前三世紀(jì)寫(xiě)成的《幾何原本》中，第十二章第七個(gè)命題證明了：三角柱的體積等于同底同高的三角錐的三倍，但《幾何原本》中沒(méi)有給出直接的棱錐體積公式。公元一世紀(jì)左右成書(shū)的《九章算術(shù)》第五章中的第十二題，計(jì)算了正方錐、直方錐（陽(yáng)馬）、直三角錐（鱉臑）的體積，并給出了通用公式。公元三世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作的注中，運(yùn)用極限思想證明了棱錐的體積公式。
概念
棱錐的側(cè)面:棱錐中除底面以外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面。。
棱錐的側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。
棱錐的頂點(diǎn);棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)。
棱錐的高:棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高。
棱錐的對(duì)角面;棱錐中過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對(duì)角面。
特征
棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個(gè)本質(zhì)特征：
①有一個(gè)面是多邊形；
②其余的各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可。
因此棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形。但是也要注意“有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體未必是棱錐。
分類
棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……
正棱錐
如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。
正棱錐的斜高：正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高，叫做正棱錐的斜高。
性質(zhì)
1．棱錐截面性質(zhì)定理及推論
定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比。
推論1：如果棱錐被平行于底面的平面所截，則棱錐的側(cè)棱和高被截面分成的線段比相等。
推論2：如果棱錐被平行于底面的平面所截，則截得的小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比也等于它們對(duì)應(yīng)高的平方比，或它們的底面積之比。
2．一些特殊棱錐的性質(zhì)
側(cè)棱長(zhǎng)都相等的棱錐，它的頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面多邊形的外接圓的圓心（外心），同時(shí)側(cè)棱與底面所成的角都相等。
側(cè)面與底面的交角都相等的棱錐，它的二面角都是銳二面角，所以頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在底多邊形的內(nèi)部，并且它到各邊的距離相等即為底多邊形的內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心），且各側(cè)面上的斜高相等。如果側(cè)面與底面所成角為α，則有。如圖畫(huà)出了射影是外心和內(nèi)心的情況。
3．棱錐的側(cè)面積及全面積、體積公式、底面積公式
棱錐的側(cè)面積及全面積
棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開(kāi)圖的面積，就是棱錐的側(cè)面積，則
（其中，為第i個(gè)側(cè)面的面積）
棱錐的底面積公式:
棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體，錐體的體積公式是：（s為錐體的底面積，h為錐體的高）。
正棱錐的側(cè)面積：（c為底面周長(zhǎng)，hˊ為斜高）。
棱錐的中截面面積：
4．正棱錐有下面一些性質(zhì)
正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；
正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。
正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等。
正棱錐的側(cè)面積：如果正棱錐的底面周長(zhǎng)為c，斜高為h’，那么它的側(cè)面積是
直觀畫(huà)法
正棱錐的直觀圖由底面和頂點(diǎn)所決定。正棱錐底面的畫(huà)法與直棱柱底面的畫(huà)法相同。頂點(diǎn)和底面中心的距離等于它的高。下面以正五棱錐為例，說(shuō)明正棱錐的直觀圖的畫(huà)法。
畫(huà)一個(gè)底面邊長(zhǎng)為5cm，高為11.5cm的正五棱錐的直觀圖，比例尺是。
畫(huà)法：
（1）軸頭。畫(huà)x′軸、y′軸、z′軸，記坐標(biāo)原點(diǎn)為O′，使（或135°），。如圖（1）
（2）畫(huà)底面。按x′軸、y′軸畫(huà)正五邊形的直觀圖ABCDE，按比例尺取邊長(zhǎng)等于，并使正五邊形的中心對(duì)應(yīng)于點(diǎn)O′。
（3）畫(huà)高線。在z′軸取。
（4）成圖。連結(jié)SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉構(gòu)造線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到所畫(huà)的正五棱錐的直觀圖。
正棱臺(tái)
定義
棱錐的底面和平行于底面的一個(gè)截面間的部分，叫做棱臺(tái)。由三棱錐，四棱錐，五棱錐……截得的棱臺(tái)，分別叫做三棱臺(tái)，四棱臺(tái)，五棱臺(tái)……
由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。
性質(zhì)內(nèi)容
正棱臺(tái)的性質(zhì)：
（1）正棱臺(tái)的側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等，它叫做正棱臺(tái)的斜高；（2）正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形；
（3）正棱臺(tái)的兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形。
相關(guān)名稱
兩個(gè)平行的面分別叫做上底面和下底面，其余的面叫做側(cè)面，側(cè)面相交的線段叫做側(cè)棱，3條側(cè)棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。
正棱臺(tái)各側(cè)面的高叫做棱臺(tái)的斜高。
體積公式
棱臺(tái)的體積公式:
截面
任意平面截棱錐所得截面均為多邊型形，不為圓面。
參考資料 >