平面應(yīng)力，只在平面內(nèi)有應(yīng)力，與該面垂直方向的應(yīng)力可忽略，例如薄板拉壓問題。
簡介
在力學(xué)分析問題過程中，隨處可見平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的概念分歧，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變都是起源于簡化空間問題而設(shè)定的概念。平面應(yīng)變：只在平面內(nèi)有應(yīng)變，與該面垂直方向的應(yīng)變可忽略，例如水壩側(cè)向水壓問題。具體說來：平面應(yīng)力是指所有的應(yīng)力都在一個(gè)平面內(nèi)，如果平面是OXY平面，那么只有正應(yīng)力σx，σy，剪應(yīng)力τxy(它們都在一個(gè)平面內(nèi))，沒有σz，τyz，τzx。平面應(yīng)變是指所有的應(yīng)變都在一個(gè)平面內(nèi)，同樣如果平面是OXY平面，則只有正應(yīng)變?chǔ)舩，εy和剪應(yīng)變?chǔ)脁y，而沒有εz，γyz，γzx。舉例說來：平面應(yīng)變問題比如壓力管道、水壩等，這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。平面應(yīng)力問題討論的彈性體為薄板，薄壁厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面面內(nèi)，并沿厚度方向不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外力作用。
非局部平面應(yīng)力問題界定及其精確性
在非局部彈性理論框架下對平面應(yīng)變和平面應(yīng)力狀態(tài)重新界定。首先，分別在其相應(yīng)簡化假設(shè)下推導(dǎo)控制方程，并與經(jīng)典局部情況進(jìn)行比較。然后，引入變形協(xié)調(diào)條件對兩類非局部平面問題的精確性進(jìn)行討論。其中，對于非局部平面應(yīng)力狀態(tài)，通過應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的Fourier變換形式來進(jìn)行研究，使問題得以簡化。
平面應(yīng)力狀態(tài)
在非局部彈性理論中，物體中各點(diǎn)對所受外力的響應(yīng)表現(xiàn)為非局部形式，因此平面應(yīng)力狀態(tài)定義如下：與 z方向有關(guān)的非局部正應(yīng)力及剪應(yīng)力分量，且其余分量僅與 x， y相關(guān)而與坐標(biāo) z無關(guān)。
本構(gòu)方程：在局部狀態(tài)下，通常通過限制 z向的尺寸來保證各局部應(yīng)力及應(yīng)變分量與厚度方向的影響無關(guān)，使其為一個(gè)近似的二維問題，但對于非局部情況，物體內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)間 z方向長程相互作用將通過非局部核函數(shù)表現(xiàn)出來，可以證明此時(shí)由于非局部核函數(shù)的影響，除非局部應(yīng)力分量外，其它所有不為零的局部應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量均必與 z有關(guān)，表現(xiàn)為三維場量。由于非局部核函數(shù)的作用非局部平面應(yīng)力狀態(tài)下的控制方程要考慮 z方向的影響。
局部平面問題精確性
導(dǎo)致非局部平面應(yīng)力問題解出現(xiàn)上述不協(xié)調(diào)性的根本原因，在于控制方程中非局部核函數(shù)要考慮 z方向長程作用，使得各局部應(yīng)力分量均與坐標(biāo) z相關(guān)，這與平面應(yīng)力狀態(tài)基本假設(shè)即各非局部應(yīng)力分量與 z無關(guān)相矛盾，最終導(dǎo)致應(yīng)變協(xié)調(diào)方程彼此不相容，在基本假設(shè)下，得不到適定的精確解，使非局部平面應(yīng)力問題只能是一個(gè)近似問題。綜上所述，此時(shí)非局部平面應(yīng)力問題解的不精確性主要是由于在控制方程中引入非局部效應(yīng)而引起的，這與經(jīng)典平面應(yīng)力問題有著本質(zhì)上的區(qū)別。因此，為保證得到與非局部平面應(yīng)力狀態(tài)前提假設(shè)相容的精確解，可對 z向尺寸進(jìn)行限制，使非局部核中 z方向的長程相互作用可忽略，則各局部分量均與 z無關(guān)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程與局部情況下相同，其Fourier變換形式中由 z方向非局部作用導(dǎo)致的不協(xié)調(diào)現(xiàn)象也將自動(dòng)消除應(yīng)變協(xié)調(diào)方程彼此相容，由非局部效應(yīng)影響所產(chǎn)生的解的不適定性也將消失。此時(shí)非局部平面應(yīng)力問題和經(jīng)典理論中平面應(yīng)力狀態(tài)一樣，成為一個(gè)二維問題。而由應(yīng)變協(xié)調(diào)條件分析可知，由于平面應(yīng)力問題自身的特點(diǎn)，此時(shí)位移解仍具有最高為 z平方量級(jí)的不精確度，僅對厚度很小的問題可以保證其精度。但考慮到非局部核反映的是物體內(nèi)部微觀尺度的長程相互作用，如其忽略 z方向的影響，說明此時(shí) z向的尺寸即使在微觀上也極小，在宏觀上完全可以不計(jì)，解的精度完全可以保證。
平面應(yīng)力條件下軸對稱拉深成形法蘭區(qū)起皺
分別采用平面應(yīng)力和平面應(yīng)變假設(shè)條件，對軸對稱拉深成形法蘭區(qū)的應(yīng)力分布進(jìn)行了分析比較，兩種情況下的徑向應(yīng)力計(jì)算值相差較小，但周向應(yīng)力計(jì)算值相差較大。有限元模擬表明，平面應(yīng)力條件下得到的解析結(jié)果與模擬值非常接近，表明平面應(yīng)力假設(shè)條件比平面應(yīng)變假設(shè)條件更接近于實(shí)際情況。在平面應(yīng)力條件下，建立了軸對稱成形法蘭區(qū)起皺失穩(wěn)條件和圓筒形件破裂失穩(wěn)條件，導(dǎo)出了臨界壓邊力的計(jì)算式。
平面應(yīng)力假設(shè)條件下應(yīng)力應(yīng)變解析求解
對于軸對稱成形平面問題，李敏華利用參數(shù)解法進(jìn)行分析，給出了直接采用數(shù)值積分的求解方法，并得到了解析解。這種方法克服了早期學(xué)者如Nadai、Millenson、Handelman等給出的需反復(fù)迭代才能得到解析解的方法。將該方法用于沖壓成形問題或其他軸對稱塑性成形問題的分析中。
尋求法蘭區(qū)應(yīng)力的解析解是進(jìn)一步分析軸對稱拉深成形問題的基礎(chǔ)。由于拉深過程中法蘭區(qū)最外緣的金屬最厚，這樣在其他區(qū)域作用的壓邊力和厚度方向作用的力較小，當(dāng)不考慮摩擦?xí)r，法蘭區(qū)接近平面應(yīng)力狀態(tài)。
理論分析與有限元模擬結(jié)果的比較
應(yīng)力分布有限元模擬值和理論計(jì)算值對比，拉深位置分別為0.950、0.850、0.750，其中徑向應(yīng)力大于0，周向應(yīng)力小于0 。
因接近凹模口的板坯受到彎曲的影響，故只分析比較相對位置不小于0.68的變形質(zhì)點(diǎn)。
通過對比可知，采用平面應(yīng)力假設(shè)得到的結(jié)果與有限元模擬結(jié)果非常接近。在平面應(yīng)力假設(shè)條件下，法蘭外緣相對位置分別取0.950、0.850、0.750時(shí)，周向應(yīng)力最大相對誤差分別為6.31%、2.21%、6.59%，徑向應(yīng)力最大相對誤差分別為0.20%、1.57%、3.89%，最大相對誤差產(chǎn)生在法蘭的內(nèi)緣。圖2中誤差較小的曲線（徑向）幾乎重合。
采用平面應(yīng)變假設(shè)與平面應(yīng)力假設(shè)得到的徑向應(yīng)力差別不大，但周向應(yīng)力相差較大。所以，在對破裂問題進(jìn)行分析時(shí)，可以采用平面應(yīng)變假設(shè)，而在進(jìn)行壓邊力的計(jì)算及起皺失穩(wěn)的預(yù)測時(shí)，應(yīng)盡量采用平面應(yīng)力假設(shè)條件。
結(jié)論
（1）對軸對稱拉深成形問題進(jìn)行了研究，分析比較了平面應(yīng)力假設(shè)和平面應(yīng)變假設(shè)條件下得到的法蘭區(qū)應(yīng)力分布情況，結(jié)果表明兩種假設(shè)條件下得到的徑向應(yīng)力計(jì)算值相差較小，而周向應(yīng)力相差較大。
（2）平面應(yīng)力假設(shè)條件的分析結(jié)果與有限元模擬結(jié)果較一致，表明平面應(yīng)力假設(shè)條件更接近于實(shí)際情況。
（3）根據(jù)能量法原理，給出了平面應(yīng)力假設(shè)條件下的起皺失穩(wěn)條件，導(dǎo)出了起皺臨界壓力的計(jì)算式。根據(jù)破裂穩(wěn)條件，導(dǎo)出了破裂臨界壓邊力的計(jì)算式。對一具體的拉深成形問題繪制了臨界壓邊力與拉深位置的關(guān)系曲線。
參考資料 >