循環(huán)單位是指由若干個(gè)連續(xù)的1組成的數(shù)，例如1, 11, 111, 1111等。這些數(shù)具有一定的規(guī)律性，即如果要使一個(gè)循環(huán)單位能夠被一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，則該質(zhì)數(shù)必須大于6且"1"的數(shù)量比質(zhì)數(shù)少1。
起源
循環(huán)單位的概念最早出現(xiàn)在趣味數(shù)學(xué)中，1966年由A.H. Beiler稱為repunit，意為repeated unit。在十進(jìn)制中，循環(huán)單位指的是由1組成的數(shù)。
數(shù)學(xué)特性
平方
循環(huán)單位的平方具有特殊的性質(zhì)，其乘積會(huì)形成由1到n的數(shù)字順序組成的回文數(shù)。例如，在十進(jìn)制中，11111111111×1111111111 = 123456790120987654321。然而，這一規(guī)律僅適用于n小于10的情況，因?yàn)殡S著n的增加，循環(huán)單位的平方將無法構(gòu)成回文數(shù)。
兼質(zhì)數(shù)
當(dāng)n能被大于1的k整除時(shí)，Rk | Rn，這意味著如果Rn是質(zhì)數(shù)，那么n也必須是質(zhì)數(shù)。目前已知的質(zhì)數(shù)循環(huán)單位包括n=2,19,23,317,1031對(duì)應(yīng)的Rn。而對(duì)于n=49081, 86453，相應(yīng)的Rn可能是偽素?cái)?shù)。
應(yīng)用舉例
循環(huán)單位的應(yīng)用可以體現(xiàn)在一些簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算中。例如，111 111/7=15873，1 111 111 111/11=90909091，以及111 111 111 111/13=8547008547等。但是，對(duì)于某些情況，如1111/5、11/3、1/2等，循環(huán)單位并不能得到整數(shù)的結(jié)果。
參考資料 >
“1111”在數(shù)學(xué)中 是奢侈數(shù).重慶日?qǐng)?bào)數(shù)字報(bào).2024-10-23
循環(huán)起源.簡(jiǎn)書.2024-10-23
詳解歐拉計(jì)劃第132題:大循環(huán)單位數(shù)的因數(shù).CSDN博客.2024-10-23